【关键词】傅里叶变换；信号处理；应用场景；MATLAB实现

引言

傅里叶变换作为一种重要的数学工具，是近代数学分析和应用数学中的重要研究方向之一。它的提出最早源于法国数学家约瑟夫·傅里叶在研究热传导问题时提出的思想，即任何周期函数都可以表示为一系列正弦波和余弦波的叠加。此理论的延伸使傅里叶变换可以将非周期函数映射到频率域，并揭示信号中所包含的频率成分及其强度分布。

随着傅里叶变换在信号处理技术方面逐步取得进步，其应用领域也在不断拓展，国内外不少学者于学术研究期间陆续提出新的见解，傅里叶变换的理论体系由此变得更加完善。在国内，傅里叶变换不仅在理论数学中有着广泛的应用，并且在信号处理、通信系统、物理工程学以及生物医学成像等诸多领域同样获得了广泛应用。借助傅里叶变换，这些应用能实现从时间域或空间域向频率域的转换，进而解决大量复杂的实际问题。

一、常见的几种傅里叶变换

傅里叶变换是一种分析信号的方法。它把正弦波当作信号的构成要素，一方面能够对信号的构成要素加以分析，另一方面还能够将这些构成要素来合成信号。在各个不同的研究领域中，傅里叶变换会呈现出不同形式的变体，如连续傅里叶变换（ContinuousTime Fourier Transform，CTFT）、离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）以及快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）等。

（一）连续傅里叶变换

CTFT适用于定义在整个实数域上且非周期的连续信号f（t），其定义如公式（1）所示：

F（ω）=∫+∞－∞f（t）e－jωtdt（1）

公式（1）表明，将时间域信号f（t）通过与复指数函数e－jωt相乘，并对全域积分，可得该信号在频率域中的表示F（ω）。

傅里叶逆变换将频率域信号还原为时间域信号，如公式（2）所示：

f（t）=12π∫+∞－∞F（ω）ejωtdω（2）

两者构成了一一对应的变换关系，实现了信号在时间域和频率域之间的转换。

（二）离散傅里叶变换

DFT是数字信号处理中的基础变换，当信号是离散的、有限长时，傅里叶变换的离散形式适用，其定义为公式（3）：

X［k］=∑N－1n=0x［n］e－j2πNkn，k=0，1，2，…，N－1（3）

其中，x［n］表示长度为N的离散时间信号，X［k］表示频率域的离散频谱，k表示频率索引或离散频率点。

离散傅里叶变换的逆变换公式如式（4）所示：

x［n］=1N∑N－1k=0X［k］ej2πNkn，n=0，1，2，…，N－1（4）

（三）快速傅里叶变换

虽然DFT在数字信号的频域分析中有着广泛的应用，但由于其在处理较长的离散序列信号时计算复杂度较高，计算效率比较低，所以在应用时受到了一定的限制。